ความเค้นดัดในคาน

เมื่อคานโครงสร้างต้องรับน้ำหนักบรรทุกในแนวขวาง จะเกิดโมเมนต์ดัดภายในขึ้นตามความยาวของคาน โมเมนต์ดัดเหล่านี้ทำให้คานเสียรูป—โดยเฉพาะคือเกิดความโค้งงอ เนื่องจากความโค้งนี้ วัสดุที่อยู่ด้านหนึ่งของคานจะถูกยืดออกเป็นแรงดึง (Tension) ในขณะที่วัสดุในฝั่งตรงข้ามจะถูกบีบเข้าเป็นแรงอัด (Compression) บทความนี้ครอบคลุมการคำนวณความเค้นตั้งฉากเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่า ความเค้นดัด (Bending Stresses) ภายในช่วงยืดหยุ่น

แกนสะเทินและการกระจายตัวของความเค้นแบบเชิงเส้น

ภายในหน้าตัดของคานที่กำลังดัดงอ จะมีแกนเฉพาะที่วัสดุไม่ถูกยืดและไม่ถูกอัด แกนนี้เรียกว่า แกนสะเทิน (Neutral Axis) สำหรับคานที่ทำจากวัสดุเนื้อเดียวกันทั้งหมดและเป็นไปตามกฎของฮุก (Hooke's Law) แกนสะเทินจะลากผ่านจุดเซนทรอยด์ (ศูนย์กลางพื้นที่) ของหน้าตัดเสมอ

สมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีคานยืดหยุ่นคือ ระนาบของหน้าตัดจะยังคงเป็นระนาบเรียบอยู่เสมอหลังจากการดัด ส่งผลให้ความเครียดตามยาวเปลี่ยนแปลงเป็นสัดส่วนเชิงเส้นกับระยะห่างจากแกนสะเทิน และเนื่องจากความเค้นเป็นสัดส่วนตรงกับความเครียดในช่วงยืดหยุ่น ความเค้นดัดจึงเปลี่ยนแปลงแบบเชิงเส้นเช่นกัน โดยจะมีขนาดสูงสุดที่ผิวด้านนอกสุดของคาน

สูตรการดัดในช่วงยืดหยุ่น (Elastic Flexure Formula)

ความเค้นตั้งฉากที่เกิดจากโมเมนต์ดัดในคานตรงเชิงยืดหยุ่น สามารถคำนวณได้จาก สูตรการดัด (Flexure Formula):

$\sigma = \frac{My}{I}$

โดยที่:

• $\sigma$ = ความเค้นดัด [Pa หรือ MPa]
• $M$ = โมเมนต์ดัดภายในที่ตำแหน่งหน้าตัดนั้น [N·m]
• $y$ = ระยะตั้งฉากจากแกนสะเทินไปยังจุดที่ต้องการประเมินความเค้น [m]
• $I$ = โมเมนต์ที่สองของพื้นที่ (Area moment of inertia) ของหน้าตัดรอบแกนสะเทิน [$m^4$]

ตามนิยาม ที่แกนสะเทิน $y = 0$ ดังนั้นความเค้นดัด $\sigma = 0$ ความเค้นดัดสูงสุดจะเกิดขึ้นที่ระยะ $y$ ไกลสุด ซึ่งมักจะแทนด้วย $c$ (ระยะทางไปยังเส้นใยที่อยู่ไกลสุด)

การกำหนดเครื่องหมายและการตีความ

เราต้องระมัดระวังในการตีความว่าความเค้นเป็นแรงดึงหรือแรงอัด โดยพิจารณาจากทิศทางของโมเมนต์ที่กระทำ:

• โมเมนต์ดัดบวก (มักมองภาพว่าทำให้คาน "ยิ้ม" หรือแอ่นตกท้องช้าง) ทำให้เกิดแรงอัดที่ส่วนบนของคาน และแรงดึงที่ส่วนล่างของคาน
• โมเมนต์ดัดลบ ทำให้เกิดแรงดึงที่ส่วนบน และแรงอัดที่ส่วนล่าง

บางครั้งสูตรอาจเขียนด้วยเครื่องหมายลบ ($\sigma = -\frac{My}{I}$) เพื่อให้สอดคล้องกับพิกัดคาร์ทีเซียนอย่างเคร่งครัด โดยให้ความเค้นดึงเป็นบวกและความเค้นอัดเป็นลบ อย่างไรก็ตาม ในทางวิศวกรรมปฏิบัติ มักจะคำนวณขนาดสัมบูรณ์โดยใช้ $\sigma = \frac{My}{I}$ และระบุว่าเป็นแรงดึง/แรงอัดจากการพิจารณาทิศทางกายภาพ

ตัวอย่างการคำนวณ

เนื้อหาตัวอย่างการคำนวณความเค้นดัดในคานแบบละเอียดพร้อมระบบ Interactive สามารถดูได้ที่ ตัวอย่างการคำนวณ: ความเค้นดัดในคาน

การตรวจสอบทางวิศวกรรม

วิธีการนี้ใช้ได้กับการทำงานแบบยืดหยุ่นเชิงเส้น (Linear Elastic) เท่านั้น หากความเค้นที่คำนวณได้สูงเกินกว่าจุดคราก (Yield Strength) ของวัสดุ ความสัมพันธ์เชิงเส้นจะใช้ไม่ได้อีกต่อไป และสูตรการดัดยืดหยุ่นจะไม่ถูกต้อง ในกรณีเช่นนี้จะต้องใช้วิธีการวิเคราะห์แบบพลาสติก (Plastic Analysis) แทน