การแอ่นตัวของคาน (Beam Deflection)

เมื่อคานรับน้ำหนักบรรทุกในแนวขวาง คานจะเกิดการเสียรูปโดยการโค้งงอ เส้นโค้งต่อเนื่องที่ลากผ่านแกนเซนทรอยด์ที่ถูกเคลื่อนที่ไปของคานที่แอ่นตัวนี้ เรียกว่า เส้นโค้งยืดหยุ่น (Elastic curve) การคำนวณระยะการเคลื่อนที่ (ระยะแอ่นตัว) ที่จุดใดๆ บนเส้นโค้งนี้ เป็นสิ่งสำคัญมากในทางวิศวกรรมโครงสร้างและเครื่องกล เพื่อให้มั่นใจว่าโครงสร้างไม่เกิดการแอ่นตัวเกินขีดจำกัดการใช้งาน (Serviceability limits)

สมการเชิงอนุพันธ์ควบคุม

ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดัดภายใน $M$ และความโค้งของเส้นโค้งยืดหยุ่น คือรากฐานของการวิเคราะห์การแอ่นตัวของคาน สำหรับการแอ่นตัวเชิงยืดหยุ่นที่มีขนาดเล็ก สมการเชิงอนุพันธ์ควบคุมของเส้นโค้งยืดหยุ่นคือ:

$EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$

โดยที่:

• $E$ = โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัสดุ [Pa]
• $I$ = โมเมนต์ที่สองของพื้นที่ (โมเมนต์ความเฉื่อย) ของหน้าตัด [$m^4$]
• $EI$ = ความแข็งแกร่งในการดัดของคาน (Flexural rigidity) [N·m$^2$]
• $y$ = ระยะแอ่นตัวของคานที่ตำแหน่ง $x$ [m]
• $M(x)$ = สมการโมเมนต์ดัดภายในซึ่งเป็นฟังก์ชันของ $x$ [N·m]

วิธีอินทิเกรตสองชั้น (Double-Integration Method)

ในการหาระยะแอ่นตัว $y$ ที่จุด $x$ ใดๆ เราต้องทำการอินทิเกรตสมการโมเมนต์ดัดสองครั้ง

1. การอินทิเกรตครั้งที่หนึ่ง (ความชัน): การอินทิเกรตสมการโมเมนต์ดัดหนึ่งครั้ง จะได้สมการสำหรับความชัน ($\theta \approx \frac{dy}{dx}$) ของเส้นโค้งยืดหยุ่น: $EI \frac{dy}{dx} = \int M(x) dx + C_1$

2. การอินทิเกรตครั้งที่สอง (ระยะแอ่นตัว): การอินทิเกรตครั้งที่สอง จะได้สมการสำหรับระยะแอ่นตัว ($y$): $EI y = \iint M(x) dx dx + C_1 x + C_2$

ในที่นี้ $C_1$ และ $C_2$ คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต (Constants of integration)

เงื่อนไขขอบเขต (Boundary Conditions)

เพื่อแก้หาค่าคงที่การอินทิเกรต $C_1$ และ $C_2$ เราต้องประยุกต์ใช้ เงื่อนไขขอบเขต ที่ทราบค่า ซึ่งขึ้นอยู่กับประเภทของจุดรองรับ (Supports) ที่รับคานอยู่:

• คานช่วงเดียว (Simply Supported Beam): จุดรองรับแบบหมุด (Pin) หรือล้อเลื่อน (Roller) จะป้องกันการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง แต่ยอมให้เกิดการหมุนได้ ดังนั้น ที่จุดรองรับซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง $x = a$ ระยะแอ่นตัวจะมีค่าเป็นศูนย์ ($y = 0$) แต่โดยทั่วไปความชันจะมีค่าไม่เท่ากับศูนย์
• คานยื่น (Cantilever Beam): จุดรองรับแบบยึดแน่น (Fixed support) จะป้องกันทั้งการเคลื่อนที่และการหมุน ดังนั้น ที่กำแพงยึดแน่นซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง $x = 0$ ทั้งระยะแอ่นตัวจะเป็นศูนย์ ($y = 0$) และความชันก็จะเป็นศูนย์ด้วย ($\frac{dy}{dx} = 0$)

ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายพิกัดคาร์ทีเซียนและความสอดคล้อง

การปฏิบัติตามข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายอย่างระมัดระวังถือเป็นสิ่งจำเป็น สมการควบคุม $EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$ จะถูกต้องก็ต่อเมื่อใช้ร่วมกับข้อตกลงที่สอดคล้องกันดังต่อไปนี้:

• แกน $x$ ที่เป็นบวก ลากไปทางขวาตามแนวแกนยาวของคาน
• แกน $y$ ที่เป็นบวก ชี้ขึ้นด้านบน ดังนั้น การแอ่นตัวลงด้านล่าง (ซึ่งเกิดขึ้นบ่อยที่สุดภายใต้น้ำหนักจากแรงโน้มถ่วง) จะส่งผลให้ค่า $y$ ออกมาเป็น ลบ
• โมเมนต์ดัด $M$ เป็นไปตามข้อตกลงมาตรฐาน โดยที่โมเมนต์บวกจะทำให้คานดัดโค้งหงายขึ้น (เว้าหงาย หรือทำให้เกิดแรงอัดในเส้นใยด้านบน)
• เนื่องจากเส้นโค้งที่เว้าหงายขึ้นจะมีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก ($\frac{d^2y}{dx^2} > 0$) โมเมนต์ดัด $M$ ที่เป็นบวกจึงสอดคล้องทางคณิตศาสตร์กับความโค้งที่เป็นบวก ทำให้สมการ $EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$ มีความสอดคล้องในตัวเองโดยไม่จำเป็นต้องใส่เครื่องหมายลบ

การตรวจสอบทางวิศวกรรม

วิธีการอินทิเกรตสองชั้นที่นำเสนอที่นี้ อาศัยสมมติฐานของการแอ่นตัวที่มีขนาดเล็กและพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้นล้วนๆ หากคานเกิดการแอ่นตัวอย่างมาก (ทำให้รูปทรงเรขาคณิตโดยรวมเปลี่ยนไป) หรือหากวัสดุเกิดการคราก (Yield) สมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่ายนี้จะไม่ถูกต้องอีกต่อไป และต้องใช้ทฤษฎีการแอ่นตัวขนาดใหญ่แบบไม่เป็นเชิงเส้น (Non-linear) ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับโครงสร้างแบบอินดีเทอร์มิเนตชั้นสูง (Highly statically indeterminate) โดยปกติจะใช้วิธีการวิเคราะห์โครงสร้างเมทริกซ์ หรือซอฟต์แวร์เฉพาะทางแทนวิธีการอินทิเกรตสองชั้นด้วยมือ